有限交换 Frobenius 环上双包含循环左模 $(\theta,\delta)$-码的 Gröbner 基方法

对于斜多项式环 $R=A[X;\theta,\delta]$（其中 $A$ 为交换 Frobenius 环，$\theta$ 为 $A$ 的自同态，$\delta$ 为 $A$ 的 $\theta$-导子），我们考虑循环左模码 $\mathcal{C}=Rg/Rf\subset R/Rf$，其中 $g$ 为 $R$ 中 $f$ 的左因子与右因子。本文仅利用斜多项式环的框架，在 $A$ 为有限交换 Frobenius 环时推导了校验矩阵。我们考虑环 $A=B[a_1,\ldots,a_s]$，其为自由 $B$-模，且 $\delta$ 与 $\theta$ 在 $B$ 上的限制为多项式映射。若可在 $B$ 上计算 Gröbner 基，则我们证明所有欧几里得与厄米双包含码 $\mathcal{C}=Rg/Rf\subset R/Rf$ 均可借助 Gröbner 基计算。我们还给出了检验对偶码是否仍为循环左模码的算法。我们以具有非平凡自同态的 4 阶环及特征为 $4$ 的 Galois 环为例说明了我们的方法。