48阶某些四元二次型及其表示数

本文中，我们找到了 $\Gamma_1(48)$ 上权为 $2$ 的模形式空间的一组基。我们利用该基给出了正整数 $n$ 被某些形如 $\sum_{i=1}^4 a_i x_i^2$、$\sum_{i=1}^2 b_i(x_{2i-1}^2 + x_{2i-1}x_{2i}+x_{2i}^2)$ 以及 $a_1x_1^2 + a_2 x_2^2 + b_1(x_3^2+x_3x_4+x_4^2)$ 的四元二次型表示次数的公式，其中 $a_i$ 属于 $\{1,2,3,4,6,12\}$，$b_i$ 属于 $\{1,2,4,8,16\}$。