庞加莱多边形的焦散线与经典极值多项式

本文对欧氏平面中椭圆内台球的周期轨道进行了全面分析。该方法的新颖性基于作者最近建立的周期台球轨道与实直线上 $d$ 个区间系统及 $d$ 维空间中椭球台球的极值多项式之间的关系。即使在本文系统研究的平面情形中，它也能在刻画 $n$ 周期轨道与所谓 $n$ 椭圆周期轨道（在椭圆坐标下为 $n$ 周期的轨道）方面得到新结果。这些刻画既通过底椭圆曲线及其上的除子给出，也通过多项式函数方程（如佩尔方程）给出。这一新方法也阐明了一些经典结果。特别地，我们将生成周期轨道的焦散线搜索与 Zolotarev 和 Akhiezer 引入的两区间上三类经典极值多项式联系起来。主要的分类工具是绕数，我们给出了其几种解释，包括一种基于极值多项式交错点个数的解释。后者蕴含了绕数之间的重要不等式，作为推论，它给出了旋转数单调性的另一证明。我们给出了 $n=3, 4, 5, 6$ 时小周期台球轨道的完整目录以及焦散线的有效搜索。作为副产品，对于所有这些小周期，我们观察到 Cayle 型条件与判别式可分离多项式之间的有趣联系。