紧度量可数空间上 Ellis 半群的基数

设 $E(X,f)$ 为动力系统 $(X,f)$ 的 Ellis 半群，其中 $X$ 是紧度量空间。我们分析了紧可数度量空间 $X$ 的 $E(X,f)$ 的基数。给出了 $E(X,f)$ 与 $E(X,f)^* = E(X,f) \setminus \{ f^n : n \in \mathbb{N}\}$ 均有限的刻画。我们证明若 $(X,f)$ 的周期点的所有周期的集合是无限的，则 $E(X,f)$ 的势为 $2^{\aleph_0}$。还证明了若 $(X,f)$ 有一个具有稠密轨道的点且 $E(X,f)$ 的所有元素连续，则 $|E(X,f)| \leq |X|$。对于形如 $(\omega^2 +1,f)$ 的动力系统，我们证明若存在具有稠密轨道的点，则 $E(\omega^2+1,f)$ 的所有元素都是连续函数。我们给出了几个具有稠密轨道点的动力系统例子。此类系统提供了 $E(\omega^2+1,f)$ 与 $\omega^2+1$ 同胚但非代数同胚的例子，其中 $\omega^2+1$ 取通常的序数加法作为半群运算。