置换空间中球的基数

对于置换空间 $S_n$ 上的右不变距离，我们给出了在 $R$ 固定时半径为 $R$ 的球的基数随 $n$ 呈多项式增长的充分条件。对于距离 $\ell_1$，我们证明了对于整数 $k$，$S_n$（当 $n \geqslant k$ 时）中半径为 $2k$ 的球面的基数是关于 $n$ 的 $k$ 次多项式，并确定了该多项式的高次项。