解析函数的 $C^r$-右等价性

设 $f,g:(\mathbb{R}^n,0)\rightarrow (\mathbb{R},0)$ 为解析函数。我们将证明，如果 $\nabla f(0)=0$ 且 $g-f \in (f)^{r+2}$，则 $f$ 和 $g$ 是 $C^r$-右等价的，其中 $(f)$ 表示由 $f$ 生成的理想，且 $r\in \mathbb{N}$。