o-极小结构中可定义函数的非负表示定理

本文讨论 $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ 上 o-极小结构中可定义函数的非负表示定理（Nichtnegativstellensätze）。即，设 $f, g_1, \ldots, g_l \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 为可定义 $C^p$ 函数（$p \ge 2$），并假设 $f$ 在 $S := \{x \in \mathbb{R}^n \ | \ g_1(x) \ge 0, \ldots, g_l(x) \ge 0 \}$ 上非负。在关于 $f$ 在 $S$ 中零点的某些自然假设下，我们证明 $f$ 可表示为 $f = \phi_0 + \sum_{i = 1}^l \phi_i g_i$ 的形式，其中每个 $\phi_i$ 是可定义 $C^{p - 2}$ 函数的平方和。作为推论，我们导出了推广非线性优化中 Karush--Kuhn--Tucker 最优性条件的全局最优性条件。