[0,1] 上的实解析函数环

我们考虑定义在 $[0,1]$ 上的实解析函数环，即 $$C^{\omega}[0,1] =\lbrace f :[0,1] \longrightarrow \mathbb{R} | f \text{ 在 } [0,1] \text{ 上解析}\rbrace$$ 本文中，我们探究该环中理想的性质。众所周知，定义在 $[0,1]$ 上的实值连续函数环 $C[0,1]$ 恰好具有以下极大理想： $$\text{对于 } \gamma \in [0,1], M_{\gamma} := \lbrace f \in C[0,1] | f(\gamma) =0\rbrace$$ 已证明每个这样的 $M_{\gamma}$ 是无限生成的，事实上不可数生成。注意到 $C^{\omega}[0,1]$ 是 $C[0,1]$ 的子环。我们证明对于 $[0,1]$ 中任意 $\gamma$，在 $C^{\omega}[0,1]$ 到 $C[0,1]$ 的自然包含下 $M_{\gamma}$ 的收缩 $M^{\omega}_{\gamma}$ 再次成为（ $C^{\omega}[0,1]$ 的）极大理想，并且这些恰好是 $C^{\omega}[0,1]$ 的所有极大理想。接下来我们证明每个 $M^{\omega}_{\gamma}$ 是主理想（尽管 $M_{\gamma}$ 是不可数生成的）。令人惊讶的是，这迫使环 $C^{\omega}[0,1]$ 的所有理想都是单生成的，即 $C^{\omega}[0,1]$ 是一个主理想整环（PID）。