Wiman-Valiron 型不等式可几乎必然改进的解析函数类与 Baire 范畴

设 $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nz^n$\ $(z\in\mathbb{C})$\ 为单位圆盘内的解析函数，$f_t$ 为形式为 $f_t(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_ne^{i\theta_nt}z^n$ 的解析函数，其中 $t\in\mathbb{R},$ $\theta_n\in\mathbb{N},$ 且 $h$ 为 $(0, 1)$ 上的正连续函数，单调递增趋于 $+\infty$ 并满足 $\int_{r_0}^1h(r)dr=+\infty, r_0\in(0,1).$ 若序列 $(\theta_n)_{n\geq0}$ 满足不等式 $$\varlimsup_{n\to+\infty}\frac1{\ln n}\ln\frac{\theta_n}{\theta_{n+1}-\theta_n}\leq\delta\in[0,1/2),$$ 则对于几乎所有 $t$ 的所有解析函数 $f_t$，存在集合 $E=E(\delta,t)\subset(0,1)$ 使得 $\int_Eh(r)dr<+\infty$ 且 $$\varlimsup_{{substack} {r\to1-0 r\notin E}{substack}} \frac{\ln M_f(r,t)-\ln\mu_f(r)}{2\ln h(r)+\ln\ln\{h(r)\mu_f(r)\}}\leq\frac{1+2\delta}{4+3\delta},$$ 其中 $M_f(r,t)=\max\{|f_t(z)|\colon |z|=r\},$\ $\mu_f(r)=\max\{|a_n|r^n\colon n\geq 0\}$\ 对于 $r\in[0, 1).$