近双曲映射的 Buff 形式与不变曲线

我们引入了一个一般性框架来研究使用 X.~Buff 引入的 meromorphic 1-form 来研究近双曲映射的局部动力学。作为本框架的一个应用样例，我们证明了关于近双曲映射不变曲线的一个如下结果：设 $g(z)=\lambda z+O(z^2)$ 在 $0$ 处有一个非退化双曲固定点，乘子 $\lambda$ 为原始 $q$ 次单位根，设 $\gamma: \, ]-\infty,0] \to {\mathbb D}(0,r)$ 为一个 $g^{\circ q}$ 不变曲线，满足 $g^{\circ q}(\gamma(t))=\gamma(t+1)$ 且 $\lim_{t \to -\infty} \gamma(t)=0$。取一个序列 $g_n(z)=\lambda_n z+O(z^2)$，使得 $|lambda_n|\neq 1$ 且 $g_n \to g$ 在 ${\mathbb D}(0,r)$ 上均匀，且每个 $g_n$ 都有一个 $g_n^{\circ q}$ 不变曲线 $\gamma_n: \, ]-\infty,0] \to {\mathbb C}$ 使得 $\gamma_n \to \gamma$ 在 $[-1,0]$ 的基本段上均匀。如果 $\lambda_n^q \to 1$ 且非切向，则 $\gamma_n$ 在 $0$ 附近的一个驱动固定点处于落定状态，并且 $\gamma_n \to \gamma$ 在 $]-\infty,0]$ 上均匀。在多项式映射的特殊情况下，这证明了当关联乘子非切向地接近单位根时，给定周期角的外部射线在赫氏度度下连续性。