保共形叉积映射的泡树收敛

我们研究一类弱共形 $3$-调和映射，称为结合 Smith 映射，其从 $3$-流形映射到 $7$-流形，参数化配备 $\mathrm{G}_2$-结构的黎曼 $7$-流形中的结合 $3$-叶。结合 Smith 映射是一个共形不变非线性一阶偏微分方程组（称为 Smith 方程）的解，该方程可视为辛几何中 $J$-全纯曲线的 Cauchy-Riemann 方程组的 $\mathrm{G}_2$-类比。本文中，我们证明结合 Smith 映射享有与辛几何中 $J$-全纯曲线许多相同的分析性质。具体而言，我们证明：(i) 一个内部正则性定理，(ii) 一个可去奇点结果，(iii) 一个能量间隙结果，以及 (iv) 一个均值不等式。尽管我们的方法受全纯曲线情形启发，但仍涉及若干非平凡推广，主要源于 Smith 方程的退化性。上述结果的核心是一个 $\varepsilon$-正则性定理，在 $3$-能量较小的假设下给出 $W^{1,3}$ 结合 Smith 映射的定量 $C^{1,\beta}$-正则性。证明结合了关于弱 $3$-调和映射的已有工作，以及结合 Smith 方程展现出某种出现在许多其他几何 PDE 中的“补偿现象”这一观察。结合这些分析性质与 Smith 方程的共形不变性，我们说明了具有有界 $3$-能量的结合 Smith 映射序列如何经共形重标度而产生此类映射的泡树。当 $\mathrm{G}_2$-结构闭时，我们证明在泡树极限下 $3$-能量与同伦均被保持。该结果可视为辛几何中 Gromov 紧致性定理的结合类比。