离散正则曲线空间上的布朗运动

我们引入并研究了在欧几里得空间中配以离散 Sobolev 型度量的离散正则曲线空间上的布朗运动。已证明，这些离散正则曲线空间若且唯若 Sobolev 型度量的阶数为二或更高时，即可几何完备。依托 Grigor'yan 的一般结果并控制测地球的体积增长，我们证明，所有几何完备的离散正则曲线空间也都是随机完备的，即其相关布朗运动可持续存在任意时间。这为这些空间上的数据统计（如数据推断和数据插值）提供了严格的基础。本结果是形状分析中首个适用于感兴趣的完整形状空间的随机完备性结果。为说明目的，我们包含了离散正则曲线空间上布朗运动样本路径的模拟。对于平面上模�射、平移和缩放下的三角形空间，我们进一步提供启发式分析，表明即使 Sobolev 型度量的阶数为零和一，该空间仍可能保持随机完备性。