Brieskorn 球面、循环群作用与 Milnor 猜想

本文进一步发展了两位作者关于等变 Seiberg-Witten-Floer 上同调的理论，重点在于 Brieskorn 同调球面。我们得到如下应用。首先，我们证明第一位作者定义的纽结共轭不变量 $\theta^{(c)}$ 对环面纽结满足 $\theta^{(c)}(T_{a,b}) = (a-1)(b-1)/2$，其中 $c$ 为不整除 $ab$ 的素数。由于 $\theta^{(c)}$ 是切片亏格的下界，这给出了 Milnor 猜想的一个新证明，其风格类似于使用 Ozsv\'ath-Szab\'o $\tau$-不变量或 Rasmussen $s$-不变量的证明。其次，我们证明 Brieskorn 同调 $3$-球面 $Y = \Sigma(a_1 , \dots , a_r)$ 上的自由循环群作用不能光滑延拓到任何以 $Y$ 为边界的可缩光滑 $4$-流形上。这将 Anvari-Hambleton 在 $r=3$ 时的结果推广到任意 $r$。第三，给定 Seifert 圆作用在 $Y = \Sigma(a_1 , \dots , a_r)$ 上的素数阶 $p$ 有限子群在 $Y$ 上非自由作用，我们证明若 $HF_{red}^+(Y)$ 的秩大于 $p$ 倍的 $HF_{red}^+(Y/\mathbb{Z}_p)$ 的秩，则 $Y$ 上的 $\mathbb{Z}_p$-作用不能光滑延拓到任何以 $Y$ 为边界的可缩光滑 $4$-流形。我们还证明了 Brieskorn 同调球面的等变连通和的一个类似非延拓结果。