关于 Brieskorn 同调球面的量子不变量

我们利用模形式的属性，遵循 Lawrence 和 Zagier 提出的方法，研究了 Brieskorn 同调球面 $\Sigma(p_1,p_2,p_3)$ 的 Witten-Reshetikhin-Turaev 不变量的精确渐近行为。关键观察是该不变量与权为 3/2 的模形式的 Eichler 积分的极限值一致。我们证明了 Casson 不变量与在极限 $\tau\to N \in \mathbb{Z}$ 下不为零的 Eichler 积分的个数相关。相应地，非零 Eichler 积分与基本群不可约表示之间存在一一对应，并且在此极限下 Chern-Simons 不变量由 Eichler 积分给出。还表明 Ohtsuki 不变量源于 Eichler 积分的近模性质，并且我们给出了用 L-函数表示的显式形式。