Brauer 树代数具有 $\binom{2n}{n}$ 个 $2$-倾斜复形

我们证明任意 Brauer 树代数恰有 $\binom{2n}{n}$ 个 $2$-倾斜复形，其中 $n$ 为相应 Brauer 树的边数。更明确地，对一条外边 $e$ 与非零整数 $j$，我们证明满足 $g_e(T)=j$ 的 $2$-倾斜复形 $T$ 的数目为 $\binom{2n-|j|-1}{n-1}$，其中 $g_e(T)$ 表示 $T$ 的 $g$-向量的第 $e$ 个分量。为证明此结论，我们运用了 Brauer 图代数在带标记闭定向曲面上的几何模型，以及 Adachi-Aihara-Chan 给出的 $2$-倾斜复形分类。