存在硬壁情况下的分支随机游走

我们考虑在高度为 $n$（$n \in \mathbb{N}$）的 $d$ 叉树上的分支随机游走，在存在硬壁限制每个值为正的条件下，其中 $d$ 为满足 $d\geqslant2$ 的自然数。我们观察到了具有长程相互作用的 Gaussian 过程（例如离散 Gaussian 自由场）在大型顶点子集上为正的条件下的行为问题，及其与该过程期望最大值之间的关系。我们求得了分支随机游走在第 $n$ 代每个顶点处均为正的事件的概率，并证明了在正性条件下，典型顶点处 Gaussian 变量的条件期望比期望最大值小 $\log n$ 阶。