Brakke 速度表述与二阶正则性性质

设 $\mathbb R^n$ 中的一族 $k$ 维曲面依运动律 $v=h+u^\perp$ 在 Brakke 速度表述的意义下演化,其中 $v$ 为法向速度向量,$h$ 为广义平均曲率向量,$u^\perp$ 为给定向量场 $u$ 在维数锐可积类中的法向投影。当该流在时空测度的弱意义下局部接近于一个与时间无关的 $k$ 维平面时,它可表示为该平面上某个 $C^{1,\alpha}$ 函数的图像。另一方面,一般而言尚不知该图是否逐点满足 $v=h+u^\perp$ 的偏微分方程。针对此问题,当 $k=n-1$ 且附加假设该图的分布时间导数为一带号 Radon 测度时,我们证明了该图逐点满足该偏微分方程。并给出了一个关于曲面演化问题短时间存在定理的应用。