箱球系统：孤子与游程的树分解

我们回顾由 Takahashi 与 Satsuma 于 1990 年引入的箱球系统（Box-Ball system）孤子的组合性质。从系统的若干定义出发，我们描述识别孤子的方法并回顾孤子在动力学下守恒性的证明。Ferrari、Nguyen、Rolla 与 Wang 在 2018 年提出了将一种构型孤子分解为向量族的方法，每个孤子大小对应一个向量。基于这些分解，作者提出了一族定义在游程集合上的测度，其诱导出箱球系统的不变分布。在本文中，我们提出一种新的孤子分解，它等价于与游程相关联的树的枝分解，参见 Le Gall 2005。参数为 $\lambda<1/2$ 的独立 Bernoulli 变量分布的球构型对应于漂移为 $2\lambda-1$ 的负漂移简单随机游走以及局部极小值上的无穷多游程。在此情形下，作者已证明游走的孤子分解由独立双无穷 iid 几何随机变量的向量组成。我们表明该性质为随机游走的游程树的枝分解所共有，并讨论具有独立但非同分布几何随机变量的几何分支过程的相应构造。