理想流体模型中 (2+1) 维重力表面波的 Boussinesq 方程

我们研究了 (2+1) 维情形下理想流体模型的重力表面波问题。我们应用了一种系统化程序，针对四个展开参数的阶数之间给定的关系推导 Boussinesq 方程，这四个参数为：振幅参数 $\alpha$、长波参数 $\beta$、横向波长参数 $\gamma$ 和底部变化参数 $\delta$。在相关情况下，我们还考虑了表面张力效应。对于所有考虑的情形，(2+1) 维 Boussinesq 方程不能化简为关于表面高程函数的单个非线性波方程。另一方面，它们可以化简为关于辅助函数 $f(x,y,t)$ 的单个高度非线性偏微分方程，该函数决定了速度势，但不是直接可观测的量。如果已知该方程的解 $f$，则可以确定表面高程函数。我们还表明，将所得 Boussinesq 方程限制到 (1+1) 维时，可以恢复 KdV、扩展 KdV、五阶 KdV 和 Gardner 方程的著名情形。