Boussinesq 近似在具有恒定属性的湍流流体中的适用性

描述浮力流体的运动方程通常利用 J. Boussinesq 一个世纪前提出的一组近似进行简化。概括而言，这些近似包括假设流体属性恒定、不可压缩性以及热传输过程中的热量守恒。在假设满足第一个要求（流体属性恒定）的前提下，我们推导了一套包含 4 个判据的标准，用于评估湍流 Rayleigh-B\'enard 对流中后两个要求的有效性。第一个判据 $\alpha \Delta \ll 1$ 直接源于热边界层中的不可压缩条件（其中 $\alpha$ 和 $\Delta$ 分别为热膨胀系数和驱动流动的温差）。其余 3 个判据与密度分层成正比或呈二次关系，或者等价地与由穿过单元的绝热梯度引起的温差 $\Delta_{h}$ 成正比或呈二次关系。对空气、水和低温氦气的数值评估表明，只要满足第一个判据，大多数实验室实验都不会出现此类 Boussinesq 近似失效的情况。在 He 中 ultra high Rayleigh 数 ($Ra>10^{16}$) 的实验中，其中一个与 $\alpha \Delta_{h}$ 成比例的分层判据可能会被违反。该判据保证了压力波动对密度变化以及通过压缩/膨胀循环对热传递方程的影响均可忽略不计。向更高 $Ra$ 的外推表明，Boussinesq 近似的严重失效可能发生在大气对流中。