用行置换矩阵的Perron根界定行和算术平均

$R_+^{n\times n}$表示$n\times n$非负矩阵的集合。对$A\in R_+^{n\times n}$，令$\Omega(A)$为通过对$A$每行内元素进行置换可形成的所有矩阵的集合。形式化地：$$\Omega(A)=\{B\in R_+^{n\times n}: \forall i\;\exists\text{ 一个置换 }\phi_i\; \text{s.t.}\ b_{i,j}=a_{i,\phi_i(j)}\;\forall j\}.$$ 对$B\in\Omega(A)$，令$\rho(B)$表示$B$的谱半径或最大非负特征值。我们证明$A$的行和算术平均由$\Omega(A)$中矩阵的最大与最小谱半径界定。形式化地，我们证明$$\min_{B\in\Omega(A)}\rho(B)\leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j}\leq \max_{B\in\Omega(A)}\rho(B).$$ 对正矩阵$A$，我们还获得这些不等式之一（或等价地，两者）取等号的充要条件。我们也给出不可约矩阵$C$满足$\rho(C)=\min_{B\in\Omega(A)} \rho(B)$或$\rho(C)=\max_{B\in\Omega(A)} \rho(B)$的判据。这些判据被用于推导当$A$所有元素为正时寻找此类$C$的算法。