关于谱的普适可实现性

复数表 $\Lambda =\{\lambda _{1},\lambda_{2},\ldots ,\lambda _{n}\}$ 若是非负矩阵（按元素非负）的谱，则称为可实现的。若对于 $\Lambda$ 所允许的每一种可能的 Jordan 标准型，$\Lambda$ 都是某个非负矩阵的谱，则称其为普适可实现的（$\mathcal{UR}$）。众所周知，$n\times n$ 非负矩阵 $A$ 与具有常数行和的非负矩阵 $B$ 共谱。本文在 Perron 特征值简单时，将 $A$ 与 $B$ 的共谱性推广为 $A$ 与 $B$ 的相似性。我们还证明：若 $\epsilon \geq 0$ 且 $\Lambda =\{\lambda _{1},\lambda_{2},\ldots ,\lambda _{n}\}$ 是 $\mathcal{UR}$ 的，则 $\{\lambda _{1}+\epsilon ,\lambda _{2},\ldots,\lambda _{n}\}$ 也是 $\mathcal{UR}$ 的。我们给出如下情形的反例：$\Lambda =\{\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots ,\lambda _{n}\}$ 是 $\mathcal{UR}$ 蕴含 $\{\lambda _{1}+\epsilon ,\lambda _{2}-\epsilon ,\lambda_{3},\ldots ,\lambda_{n}\}$ 是 $\mathcal{UR}$，以及 $\Lambda _{1},\Lambda _{2}$ 是 $\mathcal{UR}$ 蕴含 $\Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}$ 是 $\mathcal{UR}$。