Alexandrov空间中环路的几何有界性

对于曲率$\ge \kappa$的紧致有限维Alexandrov空间$X$中的一条道路，两个基本的几何不变量是长度和转角（衡量其接近测地线的程度）。我们证明，任何环路的这两个不变量之和的下界由$\kappa$、$X$的维数、直径和Hausdorff测度决定。这推广了Cheeger关于闭黎曼流形中闭测地线长度的基本估计（[Ch], [GP1,2]）。为了说明上述结果也推广并改进了[BGP]中Alexandrov几何中Cheeger型估计的一个类似结果，我们证明，对于$X$的一类子集，$n$维Hausdorff测度和粗糙体积之比由一个依赖于$n=\dim(X)$的常数决定。