三角范畴的有界 $t$-结构、有限主义维数与奇点范畴

最近，Amnon Neeman 解决了由 Antieau、Gepner 和 Heller 提出的一个大胆猜想，该猜想涉及有限维诺特方案的正则性与其完美复形导出范畴上有界 $t$-结构存在性之间的关系。在本文中，我们利用不同的方法，证明了关于（不一定是代数或拓扑的）三角范畴上有界 $t$-结构的存在性及其在完备化下的不变性的一些非常一般的结果。我们表明，如果一个本质小三角范畴的对偶范畴具有我们意义下的有限有限主义维数，那么其上有界 $t$-结构的存在性将迫使该范畴等于其完备化。我们还证明了一个平行结果，即在起始范畴与其完备化之间的任何中间三角范畴上，所有有界 $t$-结构都是等价的。当我们的一般处理专门针对方案情形时，立即给出了 Neeman 定理作为一个应用，并显著推广了 Neeman 关于相干层有界导出范畴上有界 $t$-结构等价性的另一个著名定理。当专门针对其他情形，如结合环、非正 DG-环、连通 $\mathbb{E}_1$-环、无模型的三角范畴等时，我们得到了许多其他应用。在温和的有限性假设下，这些结果不仅为三角范畴上有界 $t$-结构的存在性提供了一个范畴障碍（即我们意义下的奇点范畴），还提供了大量所有有界 $t$-结构均等价的三角范畴。我们处理策略的核心是引入三角范畴有限主义维数的新概念，并沿三角范畴的完备化提升 $t$-结构。