半带中椭圆 sine-Gordon 方程的边值问题

我们研究了在半带中提出的椭圆 sine-Gordon 方程的边值问题，该方程是双变量椭圆可积偏微分方程的范例。我们使用了由其中一位作者引入的方法，该方法提供了逆散射变换的实质性推广，可用于分析边值问题而非初值问题。我们首先用 $2\times 2$ 矩阵 Riemann-Hilbert 问题表示解，该问题由半带边界上的 Dirichlet 和 Neumann 边值共同表述。然后我们集中讨论给定边界条件在半带无界边上为零、在有界边上为常数的情况；在这一特定情况下，我们证明了上述 Riemann-Hilbert 问题的“跃变矩阵”可以由半带的宽度以及解在有界边上的常数值显式表示。该 Riemann-Hilbert 问题具有唯一解。