分数热方程与波方程的边缘观察与控制

我们在任意时间范围 $T > 0$ 内，建立了分数热方程的边缘可观测性和控制。我们的研究范围覆盖分数指数 $s \in (1/2, 1)$ 的最优区间。我们的方法引入了一种源于分数偏微分方程与控制理论的新型融合技术，通过原创且有效的方式结合了若干关键要素：1. 分数波方程低频解的边界可观测性。我们首先分析其关联的分数波方程。通过运用分数形式的 Pohozaev 恒等式，我们建立了针对低频解的部分边界可观测性结果。相应的可观测时间范围随着特征模态频率的增大而增大，这反映了分数波传播速度本质上较慢的特性。2. 传递到抛物线场景。通过传递技术，我们将可观测性结果从波场景传递到抛物线场景。这使得分数热方程获得频率依赖的可观测不等式，进而通过对偶性实现对其低频分量的控制。3. 按频率迭代。利用分数热方程的耗散性质，我们发展出一种依次控制解整个频率谱的迭代程序。在此分析中，$s \in (1/2, 1)$ 的条件至关重要，因为它保证了高频分量的充分衰减，从而实现迭代收敛。4. 对偶性。通过对偶论证，我们从分数热方程的边界可控性推导出边界可观测性。这一类型的边界可观测结果在多维情形下首次出现，似乎超出了现有方法的可达范围。