抛物型分数阶偏微分方程的最优控制：分析与离散化

我们考虑分数阶拉普拉斯算子的积分定义，并分析所谓分数阶热方程的线性二次最优控制问题；同时也考虑控制约束。我们导出最优变量的存在唯一性结果、一阶最优性条件以及正则性估计。为离散化状态方程，我们提出一种全离散格式，其依赖于时间方向的隐式有限差分离散化与空间方向的分段线性有限元离散化相结合。我们导出稳定性结果以及一个新颖的 $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ 先验误差估计。基于前述求解技术，我们针对我们的最优控制问题提出一种全离散格式，以分段常数函数离散化控制变量，并为其导出先验误差估计。我们以一维和二维数值实验来说明该理论。