高斯过程的边界不交叉概率：尖锐界与渐近性

我们研究连续中心化高斯过程 $X$ 的边界不交叉概率 $$P_{f,u} := \mathrm P\big(\forall t\in \mathbb T\ X_t + f(t)\le u(t)\big)$$，其中 $X$ 的指标集为任意紧可分度量空间 $\mathbb T$。我们得到了 $P_{f,u}$ 的上界与下界。这些界是匹配的，因为它们给出了大漂移情形 $P_{y f,u}$（$y \to+\infty$）的精确对数渐近性，即两项近似（直至 $o(y)$）。该渐近性由 $X$ 的再生核希尔伯特空间 $\mathbb H_X$ 中约束优化问题 $$\|h\|_{\mathbb H_X}\to \min, \quad h\in \mathbb H_X, h\ge f$$ 的解 $\tilde f$ 表述。我们进一步给出了若干结果的应用。