二维中具有临界增长的弱耦合玻色流体系统与正解

我们利用变分方法，证明了在二维中 Bose-Einstein 型系统存在正向量基态解：\begin{equation} \begin{cases} -\Delta u+\lambda_1u=\mu_1u(e^{u^2}-1)+\beta v\left(e^{uv}-1\right) \text{ in } \Omega, &\\ -\Delta v+\lambda_2v=\mu_2v(e^{v^2}-1)+\beta u\left(e^{uv}-1\right)\text{ in } \Omega, &\\ u,v\in H^1_0(\Omega) \end{cases} \end{equation} 其中 $\Omega$ 是有界光滑区域，$\lambda_1,\lambda_2>-\Lambda_1$（$(-\Delta,H^1_0(\Omega))$ 的第一特征值），$\mu_1,\mu_2>0$，且 $\beta$ 可为正（小或大）或负（小）。两个玻色流体之间的非线性相互作用在 J. Moser 意义下被假定为临界指数型。对于“小”解，该系统渐近等价于高维中具有幂型非线性的相应系统。