Born-Jordan 拟微分算子与 Dirac 对应：超越 Groenewold-van Hove 定理

量子化程序在微局部分析、时频分析以及量子力学中扮演着至关重要的角色。粗略地说，其基本思想（源于 Dirac）是根据物理考量所规定的一些公理，将任意符号或可观测量 $a(x,\xi)$ 与一个算子 $\mathrm{Op}(a)$ 关联起来。这导致了多种量子化方案的引入。当符号 $a(x,\xi)=f(x)$ 仅依赖于 $x$ 或 $a(x,\xi)=g(\xi)$ 仅依赖于 $\xi$ 时，它们都一致：$$\mathrm{Op}(f\otimes1)u=fu,\quad\mathrm{Op}(1\otimes g)u=\mathcal{F}^{-1}(g\mathcal{F}u)$$ 其中 $\mathcal{F}$ 表示 Fourier 变换。Dirac 的目标是找到一种量子化方案，使其额外满足关键对应关系 $$\lbrack\mathrm{Op}(a),\operatorname*{Op}(b)]=i\mathrm{Op}(\{a,b\})$$ 其中 $[\,,\,]$ 表示对易子，$\{\,,\}$ 表示 Poisson 括号，这将代表经典力学与量子力学之间的紧密联系。不幸的是，著名的 Groenewold-van Hove 定理指出这样的量子化方案并不存在，并且实际上大多数量子化规则仅近似满足这一性质。在本文中，我们证明上述对易子规则实际上对 Born-Jordan 量子化成立，至少对于 $f(x)+g(\xi)$ 类型的符号是如此。此外，我们将证明，这一性质显著地完全刻画了这种量子化规则，使其成为最符合 Dirac 梦想的量子化方案。