实数线上的 Borel 子集与连续可归约性

我们研究实数线 $\mathbb{R}$ 上 Borel 子集的各类，例如 Borel 层级的各个级别以及可归约到有理数集 $\mathbb{Q}$ 的集合类，它们被赋予关于 $\mathbb{R}$ 上连续函数的 Wadge 可归约性拟序。特别地，我们探索了 $\mathbb{R}$ 的 Borel 子集与零维波兰空间不同的若干结构性质。我们的第一个主要结果关于将若干偏序集嵌入到该拟序限制到任一严格高于开集和闭集类的 Borel 类上，例如线性序 $\omega_1$、其逆序 $\omega_1^\star$ 以及模有限误差包含的偏序集 $\mathcal{P}(\omega)/\mathsf{fin}$。作为其证明的推论，我们表明这些类没有完备集。我们进一步将前述定理扩展到可归约到 $\mathbb{Q}$ 的目标。这些非结构结果促使对 Wadge 拟序的进一步限制进行研究。在第二个主要定理中，我们引入一个组合性质，它刻画了那些可归约到 $\mathbb{Q}$ 的 $F_\sigma$ 集。这被用于构造 $\mathbb{Q}$ 之下的一个极小集并证明其基于 Wadge 等价的唯一性。最后我们证明了关于 Wadge 拟序的间隙与基数特征的若干结果，从而回答了 Brendle 和 Geschke 的问题。