近麦克斯韦分布的带截断卢瑟福散射截面的玻尔兹曼方程

著名的卢瑟福微分截面（记为 $d\Omega/d\sigma$）对应于具有库仑势的两体相互作用。它导致动量转移（或输运截面）的对数发散，描述为 $$\int_{{\mathbb S}^2} (1-\cos\theta) \frac{d\Omega}{d\sigma} d\sigma\sim \int_0^{\pi} \theta^{-1}d\theta.$$ 这里 $\theta$ 是散射事件中的偏转角。由于屏蔽效应，物理上可假设 $\theta_{\min}$ 是散射仍被视为库仑散射的最小角度的量级。在对偏转角作临时截断 $\theta \geq \theta_{\min}$ 的条件下，L. D. Landau 在 \cite{landau1936transport} 中推导了弱相互作用气体的一个新方程，现称为 Fokker-Planck-Landau 或 Landau 方程。在本工作中，我们建立一个统一框架，以在近平衡态下证明 \cite{landau1936transport} 中 Landau 的形式推导以及 \cite{alexandre2004landau} 中提出的所谓 Landau 近似问题。确切地说，(i). 我们证明了带截断卢瑟福截面的玻尔兹曼方程的全局适定性，该截面或许是在相对速度与偏转角上均最具奇异性的核。(ii). 我们证明了玻尔兹曼方程与 Landau 方程解之间具有对数精度的全局时间误差估计，这与著名的库仑对数一致。这些结果证明中的关键要素包括线性化玻尔兹曼碰撞算子的完整强制性估计、一致谱隙估计以及一种新颖的线性-拟线性方法。