弯曲空间上的Bogoliubov变换与薛定谔表示

通常认为,由薛定谔方程决定的态从一个柯西面到另一个柯西面的演化所描述的量子动力学是幺正的。然而,早在一段时间前就已知道,在固定希尔伯特空间上设想动力学的传统设定中这一预期并不成立。事实上,若所选柯西面不被类时 Killing 矢量流保持,即便在闵可夫斯基空间上的线性量子场论中它也不成立。Agullo与Ashtekar优雅地解决并化解了该问题,他们指出在一般设定下薛定谔绘景中的量子动力学并不发生于固定希尔伯特空间,而是发生于时间上的非平凡丛——希尔伯特丛,其在给定时刻的纤维是该时刻的希尔伯特空间。本文中,我们假定一个薛定谔方程,通过显式在方程中纳入Bogoliubov变换来体现真空随时间演化而改变的影响。更确切地说,对于全局双曲时空上的线性(实)Klein-Gordon场,我们写出在任意选定柯西面间传播态的薛定谔方程,从而描述希尔伯特丛上的量子动力学。我们证明当正则相空间上某一特定张量满足Hilbert-Schmidt条件时该动力学是幺正的。Agullo-Ashtekar的广义幺正条件从我们的构造中自然得出。