BNS 不变量与群扩张的代数纤维性

设 $G$ 是一个有限生成群，可写为扩张 $$1 \longrightarrow K \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{f}{\longrightarrow} \Gamma \longrightarrow 1$$ 其中 $K$ 是有限生成群。通过对 BNS 不变量的研究，我们证明若 $b_1(G) > b_1(\Gamma) > 0$，则 $G$ 代数纤维化，即存在一个到 $\Bbb{Z}$ 的上同态且核有限生成。此现象的一个有趣情形是当 $G$ 为曲面丛 $F \hookrightarrow X \rightarrow B$ 的基本群且 Albanese 维数 $a(X) = 2$ 时。作为一个应用，我们证明若 $X$ 的虚 Albanese 维数 $va(X) = 2$ 且底与纤维的亏格均大于 $1$，则 $G$ 非凝聚。这回答了一大类丛的 J. Hillman 的一个问题。