Zakharov-Kuznetsov 方程的双线性 Strichartz 估计及其应用

本文研究 Zakharov-Kuznetsov 方程 {equation} \label{ZK0} \partial_tu+\partial_x\Delta u+u\partial_xu=0 . {equation} 我们证明，相关联的初值问题在 $H^s(\mathbb R^2)$ 中对 $s>\frac12$ 是局部适定的，在 $H^1(\mathbb R\times \mathbb T)$ 中以及在 $H^s(\R^3)$ 中对 $s>1$ 是全局适定的。我们的主要新要素是在 Bourgain 空间背景下建立的一个双线性 Strichartz 估计，它允许我们控制 \eqref{ZK0} 非线性项中出现的高-低频相互作用。在 $\mathbb R^2$ 情形下，我们还需要用到 Carbery、Kenig 和 Ziesler 关于齐次色散算子尖锐 Strichartz 估计的最新结果。最后，为了证明在 $\R^3$ 中的全局适定性结果，我们需要使用 Koch 和 Tataru 引入的原子空间。