哈密顿边值问题解的分岔

分岔是通过改变参数而使方程的一族解发生定性变化的现象。与动力系统的局部分岔（通常关联于平衡点数量或稳定性的改变）不同，边值问题的分岔本质上是全局的，且可能不与任何明显的动力学行为变化相关。突变理论是一个研究函数临界点分岔的成熟框架。在本文中，我们使用（有限维）奇点理论的语言研究辛映射边值问题解的分岔。我们将某些此类问题与涉及 Lagrangian 子流形相交的几何图像相关联，从而与合适的生成函数的临界点相关联。在此框架内，我们进而研究三种特殊情况的影响：(i) 某些常见边界条件，如二阶系统的 Dirichlet 边界条件，限制了可能的分岔类型（例如，在一般平面系统中，仅能出现从折叠和尖点开始的 A-系列）；(ii) 可积系统，如平面哈密顿系统，可表现出新颖的周期性叉形分岔；(iii) 具有哈密顿对称性或反对称性的系统可表现出与该对称性相关的受限分岔。该方法为分析函数空间中的临界点（通常用于变分问题分岔研究）提供了替代方案，并为检测比示例中常见的简单折叠和尖点更为奇特的分岔开辟了道路。