三转子问题中的分岔级联、自相似性与对偶性

三转子系统涉及等质量点粒子在圆周上运动，受到强度为 $g$ 的吸引性余弦势作用。其量子理论模拟了耦合 Josephson 结链。在经典情形下，它随着能量 $E$ 的增加表现出有序-混沌-有序行为，并在 $5.33g \lesssim E \lesssim 5.6g$ 处呈现一个看似全局混沌的相。已知它在所有能量下都存在摆线和等腰呼吸子两类周期轨道族。摆线在其平动到转动阈值 $E = 4g$ 处展现出双重无穷的稳定性转变序列并发生累积，而呼吸子仅经历一次稳定性转变。在此，我们表明这些稳定性转变与前向和反向叉状等时及倍周期分岔相关。在每一次这样的分岔中诞生的新周期轨道族，是通过从母轨道的横向扰动出发的高效搜索算法发现的。在摆线分岔中诞生的各类轨道的稳定性指数图在 $E = 4g$ 处相交形成“扇型”。平动相和转动相中的转变通过分岔能量与新生的周期轨道形状之间的渐近对偶性相关联。后者可由 Lam\'e 方程的解刻画。我们还发现并数值验证了以下自相似性的标度常数取值：(a) 平动与转动摆线的稳定性指数，以及 (b) 当 $E \to 4g$ 时新生轨道的形状。最后，我们论证了在所发现的无穷多周期轨道族中，无一在 $5.33g \lesssim E \lesssim 5.6g$ 时是稳定的，从而为这一能带中的全局混沌提供了进一步的证据。