二阶自驱动多粒子系统中旋转态的稳定性

在本文中，我们研究由 $n$ 个耦合的自驱动粒子组成的系统的动力学：$\ddot r_k = (\alpha-\beta |\dot r_k|^2)\dot r_k - \frac{\gamma}{n}\sum_{m=1}^n(r_k-r_m)$，$r_k\in \mathbb R^2$。数值实验表明，对于一大类初始条件，在经过初始漂移后，质心收敛到一个静止点，每个粒子最终以恒定角速度绕其旋转。粒子在圆上的分布不必均匀。这些所有粒子同向旋转的极限构型被称为{\it 旋转态}。我们证明旋转态是稳定的，并且每一个从充分接近处出发的解都渐近地趋于某个旋转态：当 $n$ 为奇数时指数快，当 $n$ 为偶数时速率可能是指数级或 $\frac{1}{\sqrt t}$。证明使用了一种在存在非孤立不动点情形下中心流形上流的新逼近技术。