具二次势自驱动群集平移态的稳定性

本文的主要结果是证明由$\ddot r_k = (1-|\dot r_k|^2)\dot r_k - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n(r_k-r_j)$, $r_k\in \mathbb R^2$所支配的$n$个耦合自驱动智能体系统之平移态(群集态)的稳定性。群集态是所有智能体以相同速度(大小为1)运动的解。数值探索表明，对于一大类初值，经过若干漂移后，粒子速度对齐，且智能体间距离趋于零。我们证明，每一个始于平移态附近的解都渐近地逼近邻近的一个平移态，这是一种仅在平面群集中才有的渐近行为。我们量化了方向漂移、平均场速度和垂直于运动方向振荡的收敛速率。后者以$1/ \sqrt t$的速率衰减，模拟了某些具几乎周期系数和三次非线性的系统的振荡。我们给出了该类系统具有渐近稳定原点的充分条件。