二阶自驱动集群系统的空间凝聚性

对集群涌现行为的研究在应用科学中极具意义。自组织集群的一个最基本问题是集群是离散开还是保持空间凝聚构型。本文研究由模型 $\ddot r_k = -p_k(|\dot r_k|)\dot r_k - \sum_m a_{k,m}r_m$ 支配的自驱动粒子集群的耗散性质与空间凝聚性，其中 $r_k\in \mathbb R^d$，$k=1,\ldots,n$，且 $A = \{a_{k,m}\}$ 为对称半正定矩阵。自驱动项假设为连续可微且增长快于 $1/z$，即 $p_k(z)z\to\infty$ 当 $z\to\infty$。我们确立粒子的速度与加速度最终有界。我们证明当 $\ker (A)$ 平凡时，粒子位置亦最终有界。对于 $\ker (A)\neq \{0\}$ 的系统，我们证明尽管系统可能无限远离其初始位置漂移，粒子仍保持在与系统广义质心的有界距离内，该质心在几何上重合于智能体位置的加权平均。权重由到 $\ker (A)$ 的投影矩阵系数决定。我们亦包含了对具有有界耦合（包括经 Morse 势耦合的系统）的系统速度与加速度最终有界的证明。在我们的证明中，我们转换至速度-加速度坐标并聚焦于更一般类 Li\'enard 系统 $\ddot x_k = -\mathbb F_k(x_k)\cdot \dot x_k -\sum_{m} a_{k,m}x_m$，$k=1,\ldots,n$，$\mathbb F_k(x) = \nabla F_k(x)$ 且 $F_k: \mathbb R^d\rightarrow \mathbb R^d$ 由 $F_k(x) = p_k(|x|)x$ 给出的耗散性质研究。