与多方 polytrope 相比的刚体旋转引力束缚点粒子系统

为了模拟刚体旋转的 polytrope，我们模拟了由 $N$ 个点粒子组成的系统，其中 $N$ 最大为 1800。距离为 $r$ 的两个粒子通过吸引势 $-1/r$ 和排斥势 $1/r^2$ 相互作用。该排斥势模拟了多方指数(polytropic index)为 $3/2$ 的多方气体中的压力。我们取总角动量 $L$ 守恒，但总能量 $E$ 不守恒。粒子在旋转坐标系中静止。转动能量为 $L^2/(2I)$，其中 $I$ 为转动惯量。能量 $E$ 取局部最小值的构型是稳定的。在连续极限 $N\to\infty$ 下，粒子在有限体积内越来越紧密地堆积，粒子间距离按 $N^{-1/3}$ 减小。我们认为 $N^{-1/3}$ 是描述连续极限的一个良好参数。我们进一步论证连续极限即为指数为 $3/2$ 的多方气体。例如，非旋转气体的密度分布趋近于由描述非旋转多方气体的 Lane--Emden 方程所算出的结果。在最大旋转情形下，不稳定性通过粒子从赤道流失而发生，赤道变成一条锐边，正如 Jeans 在研究旋转 polytrope 时所预言的那样。我们描述了若干小 $N$ 值下的最小能量非旋转构型。