双代数上的双代数与拟洗牌双代数

通常定义在交换幺半群上的拟洗牌 Hopf 代数，可以更一般地定义在任何结合代数 V 上。若 V 是交换且余交换的双代数，则相关的拟洗牌双代数 QSh(V) 继承了一个关于词的收缩与提取的第二余乘 $\delta$，其与去连接余乘 $\Delta$ 余相互作用，使 QSh(V) 成为双代数。为了推广 Aguiar、Bergeron 和 Sottile 所阐述的拟对称函数 Hopf 代数 QSym（拟洗牌 Hopf 代数的一个特例）的泛性质，我们引入了 V 上双代数的概念。V 上双代数是右 V-余模范畴中的双代数，并且对 V 上双代数的第二余乘还要求一个额外条件。我们证明拟洗牌双代数 QSh(V) 是 V 上双代数，并且它满足一个泛性质：对任意 V 上双代数 B 和 B 的任意特征标 $\lambda$，在连通性条件下，存在唯一的从 B 到 QSh(V) 的 V 上双代数态射 $\phi$，使得 $\epsilon_\delta \circ \phi=\lambda$。当 V 是 V 上双代数时，我们得到唯一的从 B 到 QSh(V) 的 V 上双代数态射，并证明该态射 $\phi_1$ 借助特征标幺半群的一个作用，可得到任意从 B 到 QSh(V) 的 V 上双代数态射。这一形式体系被应用于一个 V-装饰图双代数。