Bernstein-Zelevinsky 导数、分支规则与赫克代数

设 $G$ 是 $p$-进域 $F$ 上的分裂约化群。设 $B$ 为 Borel 子群，$U$ 为 $B$ 的极大幂零子群。设 $\psi$ 为 $U$ 的 Whittaker 特征标。设 $I$ 为 $G$ 的 Iwahori 子群。我们通过一个显式的投射模描述了 Iwahori-赫克代数在 Gelfand-Graev 表示 $(\mathrm{ind}_{U}^{G}\psi)^I$ 上的作用。作为推论，对于 $G=GL(n,F)$，我们借助相应的 Iwahori-赫克代数模定义并描述了由 $I$-不动向量生成的表示的 Bernstein-Zelevinsky 导数。此外，利用 Lusztig 约化，我们证明了 Bernstein-Zelevinsky 导数可由分次赫克代数确定。我们给出了本研究的两个应用。首先，我们计算了广义 Speh 模的 Bernstein-Zelevinsky 导数，恢复了 Lapid-M\'inguez 和 Tadi\'c 的一个结果。其次，我们给出了 $GL(n+1,F)$ 的某些泛型表示限制到 $GL(n,F)$ 时 Iwahori-赫克代数作用的一个实现，并进一步用于验证 D. Prasad 关于 Ext-分支问题的一类例子中的猜想。