$p$-进 $(\mathrm{GL}_{n+1}, \mathrm{GL}_n)$ 的商分支律 I：广义 Gan-Gross-Prasad 相关对

设 $G_n=\mathrm{GL}_n(F)$ 为非阿基米德局部域 $F$ 上的一般线性群。我们给出并证明了判定 $$\mathrm{Hom}_{G_n}(\pi, \pi') \neq 0$$ 的充要条件，其中 $\pi$ 与 $\pi'$ 分别为 $G_{n+1}$ 与 $G_n$ 的不可约光滑表示。这解决了商分支律问题。我们还证明，不可约表示的 Bernstein-Zelevinsky 导数的任一简单商均可由一串本质平方可积表示的导数构造。该结果转移到 A 型仿射 Hecke 代数上给出了对称群经典 Pieri 规则的推广。一个关键新要素是通过标准表示的多重数一定理，刻画了 Bernstein-Zelevinsky 滤子中贡献于分支律的层，这也给出了分支律的精细化。另一个关键新要素是通过取某些最高导数来构造若干分支律与 Bernstein-Zelevinsky 导数的简单商。