Bergman-Bourgain-Brezis 型不等式

在本注记中，我们证明了 Bourgain-Brezis 不等式 \cite{bourgain1} 在 $1$ 维情形的分数阶版本。我们表明，该不等式等价于如下事实：全纯函数 $f\colon\D\to\C$ 属于 Bergman 空间 ${\mathcal{A}}^2(\D)$，即 $f\in L^2(\D)$，当且仅当 $$\|f\|_{ L^1+ {H}^{-1/2}(S^1)}:=\limsup_{r\to 1^-}\|f(re^{i\theta})\|_{ L^1+ {H}^{-1/2}(S^1)}<+\infty.$$ 探讨了向高维环面的可能推广。