分数次超可加体积不等式的取等条件

在研究 Lebesgue 测度的集函数性质时，F. Barthe 与 M. Madiman 证明了 Lebesgue 测度在 $\mathbb{R}^n$ 中紧集上是分数次超可加的。在此过程中，他们证明了维度 $n=1$ 时 Brunn-Minkowski-Lyusternik（BML）不等式的分数次推广。本文中，我们将证明任意维度下分数次超可加体积不等式的取等条件。非平凡的取等条件如下。在一维情形，我们将证明对于分数次划分 $(\mathcal{G},\beta)$ 与非空集合 $A_1,\dots,A_m\subseteq\mathbb{R}$，取等当且仅当对每个 $S\in\mathcal{G}$，集合 $\sum_{i\in S}A_i$ 为一个区间。在维度 $n\geq2$ 的情形，我们将证明取等成立当且仅当集合 $\sum_{i=1}^{m}A_i$ 测度为 $0$。