平衡 Clique 子图和 $K_{s, t}$-自由图中环长

设 $t\ge s\ge2$ 为整数。确认了 Mader、Liu 和 Montgomery 的猜想 [J. Lond. Math. Soc., 2017]，其证明表明，平均度为 $d$ 的每个 $K_{s, t}$-自由图包含至少 $\Omega(d^{\frac{s}{2(s-1)}})$ 个顶点的 Clique 子图的子图。我们给出了改进，表明该图包含相同规模的平衡子图 Clique，其中平衡子图是指每条边 subdivide 相同的次数。1975 年，Erd\H{o}s 询问是否存在这样的图，其循环长度的倒数之和在平均度为 $d$ 时必然是无限大。最近，Liu 和 Montgomery [J. Amer. Math. Soc., 2023] 确认了循环长度倒数的渐近正确下界，并提供了至少 $(\frac{1}{2}-o_d(1)) \log d$ 的下界。本文改进了此下界为 $\left(\frac{s}{2(s-1)}-o_d(1)\right) \log d$ 适用于 $K_{s, t}$-自由图。我们结果的两个证明都使用图的亚线性扩张属性以及一些新颖的结构技术。