高平均度图中大团的可平衡细分

1984 年，Thomassen 猜想：对每个常数 $k \in \mathbb{N}$，存在 $d$ 使得每个平均度至少为 $d$ 的图包含完全图 $K_k$ 的一个可平衡细分，即每条边被细分相同次数。近来，Liu 与 Montgomery 证实了 Thomassen 猜想。我们证明：对每个常数 $0<c<1/2$，每个平均度至少为 $d$ 的图包含大小至少为 $\Omega(d^{c})$ 的完全图的可平衡细分。注意该界几乎是最优的。此外，我们证明每个最小度至少为 $d$ 的稀疏扩张图包含大小至少为 $\Omega(d)$ 的完全图的可平衡细分。