双曲混沌中基于伴随阴影的误差反向传播

为将反向传播方法推广到离散时间与连续时间的双曲混沌，我们引入作用于余向量场的伴随阴影算子 $\mathcal{S}$。我们证明 $\mathcal{S}$ 可等价地定义为：(a) $\mathcal{S}$ 是线性阴影算子 $S$ 的伴随；(b) $\mathcal{S}$ 由“先分裂再传播”的展开公式给出；(c) $\mathcal{S}(\omega)$ 是 $\omega$ 的唯一有界非齐次伴随解。由 (a)，$\mathcal{S}$ 伴随地表达阴影贡献——线性响应的重要部分，其中线性响应是长期统计对系统参数的导数。由 (b)，$\mathcal{S}$ 也表达线性响应的另一部分，即不稳定贡献。由 (c)，$\mathcal{S}$ 可由 Ni 与 Talnikar (2019 J. Comput. Phys. 395 690-709) 中的非侵入式阴影算法高效计算，该算法类似于传统的反向传播算法。对连续时间情形，我们额外证明线性响应可分解为定义良好的阴影贡献与不稳定贡献。