长程算子子关系理论：双曲线测地流见解与单调性理论

我们提出了一种适用于 $\ell^2(\mathbb Z)$ 上长程算子的数的子关系理论框架，连接动力学系统与谱分析。对于有限程度算子，我们在部分双曲（Hermitian-）辛型 cocycle 的动力学行为与纯绝对连续谱存在性之间建立了对应关系，从而解决了Jitomirskaya提出的开放问题。对于无限程度算子——其中传统的 cocycle 方法不再适用——我们通过广义特征函数的增长来特征化绝对连续谱，扩展了来自高维格子模型的技术。我们的主要结果包括：首次严格证明具有解析势和 Diophantine 频率的准周期长程算子纯绝对连续谱的存在——特别是首次证明亚临界 almost Mathieu 算子在有限程度扰动下的全相位持久性——以及其他在长程算子谱理论方面的进展。我们方法的关键新颖之处在于，稍如意想到的 $\Lambda$ 稳定/垂直束交叉在测地流中的作用——它们检测共轭点——在同样根本性地支配 Schr"odinger 算子中的（de-）localization 方面发挥着同样关键的作用。这种几何洞察，结合一种 novel 的 coordinate-free 单调性理论（包括其在 center-束限制下的保持）以及适应的解析谱和 KAM 技术，使我们能够对长程算子进行谱分析。